ზოგიერთი სიდიდეების გასაზომად საკმარისი არ არის რაციონალური რიცხვები. კერძოდ, არსებობენ მონაკვეთები, რომელთა სიგრძე რაციონალური რიცხვით არ გამოისახება. ასეთია მაგალითად, იმ კვადრატის დიაგონალი, რომლის გვერდის სიგრძე ერთეულის ტოლია. მართლაც, თუ დავუშვებთ, რომ ამ კვადრატის დიაგონალის სიგრძე რაციონალური რიცხვით გამოისახება, მაშინ იგი წარმოიდგინება p/q უკვეცი წილადის სახით და მართებულია ტოლობა: (p/q)² = 2 აქედან, p² = 2q² , ამიტომ p² ლუწი რიცხვია და მაშასადამე, ლუწი იქნება p-ც (რადგან კენტი რიცხვის კვადრატი ყოველთვის კენტია). ე. ი. p = 2k, სადაც k ∈ N და p² = 2q² ტოლობიდან მივიღებთ 4k² = 2q² ⇒ q² = 2k², ე. ი. q² ლუწი რიცხვია და ლუწი იქნება q-ც. მივიღეთ, რომ p და q ლუწი რიცხვებია, ეს კი ეწინააღმდეგება დაშვებას, რომ p/q უკვეცი წილადია.

ამრიგად, ზემოთაღნიშნული კვადრატის დიაგონალის სიგრძის გამოსახვა რაციონალური რიცხვით შეუძლებელია. როგორც ვნახეთ რაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეში არ არსებობს ისეთი რიცხვი, რომლის კვადრატი 2-ის ტოლია. ანალოგიურად შეგვიძლია ვაჩვენოთ, რომ არ არსებობს რაციონალური რიცხვები, რომელთა კვადრატებია 3, 5, 6, 7 და ა. შ. ასეთი რიცხვები ეკუთვნიან ე. წ. ირაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეს. რადგან ასეთი რიცხვები არ არიან რაციონალური, ამიტომ მათი წარმოდგენა უსასრულო პერიოდული ათწილადის სახით შეუძლებელია.

უსასრულო არაპერიოდულ ათწილადს ირაციონალური რიცხვი ეწოდება. ირაციონალურ რიცხვთა სიმრავლე I ასოთი აღინიშნება. მაგალითად, ირაციონალურია უსასრულო ათწილადი 0,101001000100001..., რომლის ჩანაწერში პირველი 1-იანის შემდეგ არის ერთი ნული, მეორე 1-იანის შემდეგ_ორი ნული და ა. შ.

რაციონალურ და ირაციონალურ რიცხვთა სიმრავლეების გაერთიანებას ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლე ეწოდება და R ასოთი აღინიშნება.

ცხადია, რომ ზემოთ განხილულ N, Z₀, Z, Q და R რიცხვთა სიმრავლეებს შორის არსებობს შემდეგი დამოკიდებულება:

N ⊂ Z₀ ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.

ნამდვილ რიცხვთა სიმრავლის განსაზღვრებიდან გამომდინარეობს, რომ ყოველი ნამდვილი რიცხვი ან რაციონალურია ან ირაციონალური. რადგან ყოველი რაციონალური რიცხვი შეიძლება წარმოვადგინოთ უსასრულო პერიოდული ათწილადის სახით, ხოლო ირაციონალური უსასრულო არაპერიოდული ათწილადის სახით, ამიტომ შეიძლება დავასკვნათ, რომ ყოველი ნამდვილი რიცხვი შეიძლება წარმოვადგინოთ უსასრულო ათწილადის სახით შემდეგნაირად:

რამდენიმე ნამდვილი რიცხვის ჯამი და ნამრავლი განისაზღვრება შესაბამისად ორი ნამდვილი რიცხვის ჯამისა და ნამრავლის საშუალებით, ისევე როგორც მთელი რიცხვებისათვის.

ნამდვილი რიცხვების გამოკლება და გაყოფა განისაზღვრება, როგორც შესაბამისად შეკრებისა და გამრავლების შებრუნებული მოქმედებები.

---

შენიშვნა: მათემატიკური ცნებები ძირითადად წარმოდგენილია ეროვნული მისაღები გამოცდებისთვის განკუთვნილი სახელმძღვანელოდან - ავტორები: ს.თოფურია, ვ.ხოჭოლავა, ნ.მაჭარაშვილი, გ. აბესაძე, ზ. მეტრეველი.

განმარტება: პროფესორ ს. თოფურიას რედაქციით მეხუთე გადამუშავებული გამოცემა.